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高校数学

高校数学　２０２２　共通テスト　数学IA　第３問

　２０２２年　１月１６日実施の共通テスト　数学IAについて、大幅難化と言われていたり、思考力重視に偏重しすぎと言われたりしていますが、本当にそうでしょうか。確かに、これまでのセンター試験等に比べると、問題の作りが雑のように思えました。（コロナ禍により、作成者たちの会議や意志疎通が少なくなった等でしょうか。） また、表面的には思考力重視に見えたかもしれませんが、しっかりと数学の基礎力がある人は十分に解ける問題であると思います。

　残念な点は以下のような点です。
・思考をさせるという点では数学によって明確化される思考力を問う問題よりも、通常の思考力を問うような問題がちらほら見られたこと。

・問題の作りがやや雑というのは、数学的思考力を問う際に、得点される１つの個所で、ある簡単なものを問い、同種の力を問う問題が続いたかと思うと、同じ単元で問うべき他の複数の力を一度に使わなければならない問題もあり、もう少しばらけさせねば十分に問えないだろうという点。

・別の力を問えばよいものを同じ力を単に取り扱う要素の数を多くするという形を用いている点。

おおまかに、これらの点が目立ったように思います。

大問ごとにみてみます。今回は第３問

第３問
　場合の数・確率の問題です。場合の数・確率は順列や組み合わせなどの式を作って解き進めますが、問題文からいきなりこれらの式を作る必要はありません。
　今回の場合であれ、(2)以降で「4人の交換で、1人だけが自分のプレゼントになるから、これが4通り、残りの3人のうち1人目が・・・」などのように、頭で考えて式を作るのは、いわゆる地頭のある受験生はよいでしょうが、普通の頭の受験生ではちょっとキツいかもしれません。私などは普通の頭の持ち主ですから、ちょっとキツいですし、結果として作られた式に信頼がおけません。信頼のおけない式を受験で使って解答するというのは、ちょっとギャンブルのような受験になりますから、避けたいものと思います。

　けれども、このように考える必要がないのが、人類が培ってきた数学です。
これらの式は、基本的に樹形図等による全体把握を基にして、式に落とし込んだものです。樹形図は事象の情報のほとんどを含みますが、式は一部でしかありません。また、多数の要素を含んだり、相互作用の複雑な現象を扱おうとした場合等で、情報技術を用いるときも樹形図への整理を基に処理を命令することも多いでしょうから、樹形図への整理技術を問うことで、数学の活用力を問うことができるとも思います。

　高校生が身につけるべき樹形図は中学生に学んだ具体的なものだけではなく、パターン分類の樹形図や確率付き樹形図です。また、全ての樹形図を書くのではなく、あくまで式に落とし込む観察手段としての樹形図ですから、特徴の把握ができ次第、樹形図は途中で省略してしまっても構いません。（もちろん、把握ができずに書ききってしまったら、あとは数えればよいだけです。こうなる場合も少なくはありません。）

　このような場合の数・確率に対する考え方を基にみてみます。

(1)では樹形図はすぐに書けるでしょうから、(1)は完答したい問題です。

(2)の樹形図を(1)と同様に書こうとすると大変です。私は書いてしまいましたが、確実に時間オーバーするでしょう。
　だからと言って、どんな樹形図にするかを自分で考える必要はありません。問題文に従って「終了しない場合で分けた」樹形図を書けば、時間は半分以下に短縮されます。問題文の指示には従うものですね。
こうして樹形図が書けると、(2)も完答できます。

(3)も(2)と同様にした樹形図が書ければ数分で解けます。

(4)では (3)の樹形図と計算結果を基に解き進めますが、書かれている樹形図が完全なものではなく場合分けされた一部だけですから、全てを見ることはできません。
　条件付確率の定義「条件Aが起こったときの条件AかつBが起こる確率」を表す式は分数で書かれていますが、分数というのは割合として読み取ることを小学生からしてきました。このように考えると確率は、割合と似たような指標です。ですから、同じように割合のように読み取って「A,B,C,Dが自分以外のプレゼント受け取った場合の数のうち、交換会が終了する場合の数の割合」として式を作ることができます。このようにすると(3)で把握した数字がそのまま使えます。このことは、それほど難しい考え方ではないと思いますが「式を解釈する」ということが必要です。そのため、上位校を受ける受験生にとってはできてほしい問題ですが、それ以外の受験生はここまでは整っていないこともあるでしょう。

第３問も完答は難しいかもしれません。特に樹形図を基にするのではなく、式の作り方として学習してきた受験生は(2)以降が難しかったかもしれません。
(1)は多くの人にとって、ぜひできてほしい問題です。ここはでで5分くらい。得点で9点です。
(2)(3)は問題文の指示に従って樹形図にしていけば、通常の力のある受験生はできる問題でしょう。この2つで10分くらい。得点は9点。
(4)は上位校を狙う受験生は解けるべき問題です。(3)の除法がありますから1分で解けます。配点は2点です。

ここまでで、基礎力がしっかりあると思われる受験生の、採りたい得点と時間
第１問　30点　12分
第２問　18点から24点(上位校狙い)　15分から18分(合計 48点から54点 27分から30分)
第３問　18点から20点(上位校狙い)　15分から16分(合計 66点から74点 42分から46分)
（スクラムnext 田中克典）