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高校数学

高校数学　２０２３　共通テスト　数学IA　第１問

　２０２３年　１月１５日実施の共通テスト　数学IAは、昨年度に比べてかなり易化したようです。とはいえ、問題作成の基本方針は変わっていないのではないかと思います。問題作成の基本方針は次のような感じではないでしょうか。
・思考力まはた活用力を重視する。
　具体的に次のような事で現れます。
　　・与えらえれた条件や状況を　言葉・図・グラフで整理すること。
　　・与えられた条件や状況または、グラフ等に整理されたことを式で表現すること。
　　・式を特徴を把握できる形に整理し、整理された式から情報を読み取ること。

　基本方針が変わらないのに易化したポイントは次のようなものと感じました。
１．変数の数が減ったことや、使われる式変形の技術が簡単になったことによる、これらを慎重に行う必要がなくなり、計算時間が短くなったり、方針から意識がそれづらくなったこと。具体的には項や次数への着目ができなくても時間がかからずに対応できるようになったように思います。
　ただし、項や次数への着目は数学の基礎として重要な性質ですから、これを用いなくて済むようになったのは、どうなのでしょうか。

２．条件や状況を整理するプロセスが、問題文によって行われていたこと。確率の問題では「絵や樹形図にまとめ、これを式で表すこと」が基礎として求められる処理能力ですが、これらのまとめが自分で行わなくても書かれているためにかなり易化しています。

３．判断すべき条件の精密さが減ったこと。昨年度の問題では、条件の境界をしっかりと扱う必要がありましたが、今年はそれほどしっかりと扱わなくても正解となる問題が多かったように感じます。この点での易化のさせ方は数学の持つ利点である「精密な取り扱い」を判断できなくなるように感じます。
　数値で計算するものも、近似して扱えるものが判断しやすくできていました。数値で計算するものに関する易化は、賛成です。数値の計算などは小学生の技術ですから、大学入試で合否にかかわる要素とすべきではないと思うのです。

大問ごとにみてみます。今回は第１問

第１問 [１]
アイウエ：絶対値の処理の問題です。不等式ですから、右辺に±を付けて外すという理解のない解法しかできない人は間違ってしまったかもしれません。
　とはいえ、場合分けをすると時間がかかりますので「絶対値の意味」「引き算の（足し算）の意味」と数直線から数秒で解きたい問題です。

オカキク：アイウエのときに扱った式の x が式に置き換わりますから、アイウエの解答の形を引き継ぐことから始められます。
　問題文に「1-√3が負である」という注意がありますから、自分で注意する習慣のない人でも解きやすいでしょう。（ただし、自分でこれに注意できる方がよいでしょう。特に理系では大学入学後に不注意は大敵です。毒物や大きなエネルギー、目に見えないほど小さいけれども影響が大きい物質などを扱うことになりますから、大学の先生たちには不注意をしない学生に入学してほしい気持ちは少なからずあるでしょう。このような意味でミスや不注意で不合格になるというのは「大学で学ぶためのトレーングが不足している」と判断される理由と言えるのではないかと思います。）

ケコ：「展開して比較せよ」とありますから、これも問題文に従えば解けます。けれども「展開して」とあるのに展開しないで解こうとする人も見かけたりします。そういう人は展開したあとどう解くの？といったように考えてしまうのかもしれませんが、展開してどうなるかは展開した形を見て判断した方が正確だし楽でしょう。最後は一応、因数分解して③式の形になることを、一応確認した方がよいでしょう。
　展開することで、うまくいく方針が見つかるのはどうしてでしょうか？それは、ここで設定された①式、②式について左辺と右辺の形式がそろっていないために、このままでは特徴が見えづらいからです。①式も②式も左辺は「積の形」、右辺は「和の形」をしています。積の形と和の形がイコールで結ばれているのですから、ちょっとねじれた形です。まずはどちらかに合わせてみようというのが、整理の方針になります。右辺を積の形にするのはよくわかりませんから、左辺を展開して和の形にした方が楽でしょう。というわけで、形を合わせたら、何だかうまくいった。という感じでしょうか。

ここまでで第１問[１]が終了です。５分くらいで完解したい問題です。 第１問[２]
サシ：正弦定理を使って解きたくなる問題です。けれども「正弦定理が円に内接する三角形に円周角の定理を使い、直角三角形（三角比の基本となる形）を扱って円の特徴である半径と三角比を関連付けたもの」と理解していれば、三平方の定理で解けます。さらに３：４：５の辺の比の直角三角形を覚えていれば数秒で解けます。問題文を読み始めて図を描く時間を含め、１分あれば十分でしょう。定理が何を元に（特に中学で学んだことの何を引きついで式や文字で表現しなおされたものか）を理解しておくと、得するのは共通テスト以前からよく見られます。「これまで扱われていた性質を文字や式で表せるようにすること、それによりより形式的に扱うことが可能になり、より複雑な問題を扱えるようになる。」数学にはこのような側面があり、このような取り扱い方を各問題を通して身に着けることで、応用できる力になります。解き方より、扱い方、頭の使い方の習慣をトレーニングすべき理由の１つです。

スセソ：円に内接する三角形の面積についての問題です。最大となる場合を覚えていればできるもんだいです。けれども、覚えておくというのは、あまり良くありません。そのような学習では応用力が下がります。すでに円周角の定理が想定内にあって、三角形の面積が底辺と高さによって決まることを知っていれば、すぐにどのような場合かを図示できるでしょう。また「弦ＡＢの垂直二等分線上に中心がある」という中学の作図で学んだこと、「円周角と中心角の関係」「二等辺三角形の性質」これも中学で学んだことですが、これらを使えばスの直角三角形がサシの直角三角形と相似なものだと分かるでしょう。やはりスセソも１分くらいの時間で十分でしょう。高校の図形はやはり中学からの引継ぎから始まりますから、数ＩＡではこのようなものがよくつかわれます。三角比も中学で学んだことをスムーズに引き継ぐように学んぶことで、応用できる基礎が作れます。

タチツテト：球になりますが、まずは底面である平面を扱います。この平面を図にすれば余弦定理が使えることが分かるでしょう。１つの角の三角比が分かりますから、高さを求めることができ、面積も計算されます。（面積の公式でもよいでしょう。）余弦定理を扱いますから、図を描く時間を含め３分近くかかるかもしれません。
ナニヌネノハ：ここからは「解き方知っている」とやりやすい問題となります。「球に内接する三角錐で（底面が決まっていても）体積を最大にするとき、頂点から底面への垂線は球の中心をとおり、底面の外接円の中心と交わる」こんなことを知っているかどうかで差がつく設問は、共通テストの作問方針としてどうなのでしょうか。
　とはいえ、知っていることを前提にしても始まりません。
　まず底面が決まっていますから、「体積が最大である」ためには、底面と垂直になる高さが最大になることが必要だとわかるでしょう。この段階でその高さとなる垂線は球の中心を通るとわかると思います（タチツテトのところと同じタイプの考え方ですから）。底面と高さは垂直ですから、底面を含む球の断面（底面の外接円）を考えた場合、垂線は底面の外接円の中心を通ることがわかるでしょう。先ほどのことを知らない場合、このような道筋で考えますから、やや時間がかかります。このような状況の確定までに２分くらいかかるかもしれません。その後はナの選択はすぐにできるでしょう。また、垂線を含む直角三角形から高さを求めますが、このとき底面の外接円の半径が必要になり、次に三平方の定理といった感じで進みますから、時間もそれなりにかかります。計算に３分くらいはかかりかもしれません。

　試験時間を考えたとき、第１問をどのように考えるか。
１．アからトまで解き、ナ以降は後にする。
２．アからナまでとき、最後の体積は後にする。
３．全部解く。
のような判断になると思います。

　それぞれの場合の所要時間の見積もりと得点を整理します。
１．アからトまで解き、ナ以降は後にする。
　所要時間１０分くらい　得点２５点（３０点満点中）ここまでで８３％

２．アからナまでとき、最後の体積は後にする。
　所要時間１２分くらい　得点２７点（３０点満点中）ここまでで９０％

３．全部解く。
　所要時間１５分くらい　得点３０点（３０点満点中）ここまでで１００％

　満点を目指す人は展開するスピードや図を描くスピードも速いでしょうから、１２分くらいで処理できるかもしれませんね。

（スクラムnext 田中克典）