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中学数学

高校入試問題レビュー　2022　埼玉県　学力検査問題　数学　第２問・第３問・第４問

　2022年 2月24日は埼玉県公立高校の入試でした。
大学入試と同じく、年々少しづつ難化していっている公立高校入試ですが、まだまだ高校入学後に学ぶ内容に比べてギャップが大きいため、今後も少しづつ難化していくことが予想されます。今年度の入試について見てみたいと思います。

　今回は、数学　学力検査問題　第２問・第３問・第４問です。

第２問
(1) 1:√2 という辺の比から直角二等辺三角形を描くことが目標となり、そのために垂直二等分線の作図をする問題。
　直角三角形を描くという直接的な表現で与えられてはいませんが、特徴的な比なので、思い当たりやすいでしょう。

(2) 問題文の指示に従って代入しながら座標を書き込み、そのグラフを見ながら問題文で求められている平行四辺形の面積の式を作れば、解ける式ができあがっています。シンプルな問題です。

第３問
　さいころ2つを振る確率、場合の数の問題。
さいころと座標、関数を組み合わせた問題で、戸惑った人もいると思います。けれども確率や場合の数で身につけるべき根本は「整理のしかた」ですから、これを練習してきた人はそれほど戸惑わなかったかもしれません。
　さいころ2つは通常は表に整理していきますが、ここでは座標上の点に整理することで楽に把握できます。この整理のしかたは思いつくとすれば難しいかもしれませんが、問題文で述べられる順にグラフ上に点を打っていくことで、比較的自然と着想を得られるでしょう。特に、「整理していくときには、問題文を読みながら、どんな設定かを指示されるごとに、いくつかの事象を具体的にやってみながら、整理する」ということが、基本的な習慣になっている人は、特に難しい問題ではないでしょう。（このような習慣を得られるように日々の練習は行われるべきものです。）

(1) ２点を通る一次関数の問題で、事象の把握ができていなくても解けます。

(2) 問題文を読みながら整理ができていた人は、数えれば答えになります。

(3) やはり問題文を読みながら整理ができていた人は、面積を把握することで解けます。けれども、１つ１つの面積を求めるのは時間もかかります。時間があればこれでもよいですが、底辺と高さの把握だけで判断すれば５分くらいで判断できるでしょう。模範解答のように等積変形を使って直線を描いても良いでしょうが、”思いつけば”という感じでしょう。
とはいえ、この問題が今回の数学で最も解きずらい問題です。

第４問
　円の接線の性質についての問題です。図にこの性質を書き入れながら進めることで、それほど困難なく解けるでしょう

(1) 円の性質（半径と中心）と、円の接線の性質（直角に交わる）ということを問題文を読みながら図に書き入れられていれば、直角三角形の合同条件が見つかっているでしょう。

(2) もう1つの円についても同じく、円の性質と、円の接線の性質、(1)で証明した角の二等分線の性質を、問題文を読みながら設定されるごとに図に書き入れていくと、あと一歩で解けるとこまで進みます。この段階で相似な図形ができているでしょう。
　次にRからOAに垂線を引いて直角三角形を作り三平方の定理を使うことで解かれますが、この垂線を引くのが「よくあるパターン」的なものを使えと言っているように感じますから、問題の作りには残念さを感じます。解くだけというのであれば、よくある形で、ほとんどの受験生は何度も練習を行っているでしょうから、この垂線を引いて三平方の定理を使うのは、それほど難しくないと思います。

（スクラムnext 田中克典）